La Boite à outils de la pensée logique
L'intelligence est un processus en continuel devenir. Imaginez une boîte à outils de la pensée qui se remplit à travers nos multiples interactions avec l'environnement: ce sont les outils opératoires de l'intelligence, des outils pour bien raisonner. D'abord sensori-moteurs (intelligence pratique), ils deviennent représentatifs (pensée intuitive ou prélogique, pensée opératoire concrète, puis opératoire abstraite).
Ces outils logico-mathématiques se mettent en place progressivement, stade après stade.
Le développement de l'intelligence est ordonné. Chaque construction nouvelle s'appuie sur les structures antérieures et les modifie en retour en les intégrant à des structures plus larges et plus riches.
Chaque individu évolue selon son rythme dans l'acquisition des connaissances.
En se développant, les structures opératoires nous donnent accès à des connaissances de plus en plus complexes et variées. Et oui, il existe un lien étroit entre les outils logico-mathématiques dont on dispose et les connaissances que l'on peut acquérir, dans divers domaines du savoir.
Découvrez les outils logico-mathématiques.
Explorez les étapes qui ont fait de vous ce que vous êtes.
Donnez du sens aux apprentissages mathématiques pour ressentir le plaisir de comprendre ce que l'on fait.
Classez par famille.
et positionnez-les sous les réceptacles remplis correspondants
LA CLASSIFICATION
En quoi consiste cet outil de pensée ?
Etre capable de comparer des objets ou des idées.
Etre capable de maintenir ce critère de comparaison sur la totalité des objets.
Etre capable de regrouper les objets qui ont un critère commun et
d'en constituer une classe suivant la relation « ...a le même... ».
Etre capable de créer des classes d'après des critères de plus en plus abstraits.
Etre capable de mettre une étiquette à chacune de ces classes,
celle-ci pouvant être un représentant ou bien un mot.
Exemples de classe
Les pommes, les verbes, les batraciens, les planètes...
Etre capable de raisonner en comparant deux classes.
Les deux classes sont disjointes (les chats et les chiens, les nombres pairs
et les nombres impairs).
Une des classes est incluse dans l'autre (les multiples de 10 et les multiples de 2,
ceux de 10 sont inclus dans ceux de 2).
Les deux classes présentent une intersection (les carrés sont à la fois des quadrilatères rectangle et des quadrilatères losange).
Ça sert à quoi ?
Les classifications sont à la base de toute pensée logique.
Les rangements domestiques, le langage, la grammaire, la tenue d'un budget,
l'organisation du temps et toutes les Sciences : la botanique l'économie, la géologie,
la gemmologie, la paléontologie, la biologie.... utilisent les classes.
Comment évolue cette structure logico-mathématique de classification ?
Bien avant la maternelle le bébé classe : les personnes qu'il connaît et celles
qu'il ne connaît pas, les seins de sa maman et les biberons.
A l'autre extrémité, la pensée des plus grands physiciens formule des classifications
très abstraites comme dans la « Physique Quantique » où elles dépassent
l'entendement.
Entre les deux, ces raisonnements sont indispensables dans toute la scolarité.
= 4,5 L
= 75 cL
= 15 L
= 37,5 cL
= 6 L
LA CONSERVATION
En quoi consiste cet outil de pensée ?
Etre capable de comprendre qu'une quantité se conserve même si elle change d'aspect
quelles que soient les transformations que l'on effectue sur elle.
Etre capable de comprendre que lorsque deux quantités sont admises comme
équivalentes, elles le demeurent même si l'on fait subir à l'une ou l'autre quantité de
modifications d'apparence visuelles.
Exemples de conservation
Une corde tendue conserve sa longueur si on l'enroule sur un bâton.
Un morceau de gruyère entier ou râpé contient la même quantité de fromage,
bien que son volume augmente au cours de l'opération.
Un litre de lait est toujours 1 litre même si la hauteur diminue considérablement
lorsqu'on le transvase dans un large récipient.
L'horizontalité de la surface d'un liquide est invariante
quelles que soient les positions qu'on impose à une bouteille.
Une fois la notion comprise, comment s'exprime-t-elle ?
« Tu n'as qu'à les remettre alignés comme avant tu vas voir que c'est la même longueur. »
C'est la renversabilité (retour en pensée au point de départ.
« On dirait que la route va moins loin, mais c'est parce quelle fait des détours,
mais c'est la même longueur ».
C'est la compensation.
« Tu n'as rien ajouté rien enlevé, donc c'est la même longueur ».
C'est l'opérativité.
« Ce sont toujours les mêmes bâtonnets, donc c'est la même longueur ».
C'est l'identité.
Un seul de ces arguments d'enfants suffit à vous renseigner sur sa maitrise de l'outil.
Ça sert à quoi ?
La mise en place des conservations est un indicateur de l'apparition des opérations logiques concrètes.
Chez un enfant, aucune pensée mathématique ne peut s'installer s'il n'y a pas,
à un moment dans son évolution, la construction d'un invariant.
Ceci est vrai dans les deux domaines : du discontinu (le nombre) et du continu
(les quantités physiques : longueur, aire, volume, angle, masse, capacité et temps).
En secondaire tous les domaines de la physique sont concernés.
Les conservations précèdent la capacité à graduer la matière qui permettra ensuite
de comprendre et d'utiliser le système métrique ou encore celui sexagésimal
dans la mesure du temps.
L'ÉQUIVALENCE NUMÉRIQUE
En quoi consiste cet outil de pensée ?
Etre capable de parler d'une quantité ou d'une grandeur
de plusieurs façons différentes.
Etre capable de penser simultanément le tout et les parties
d'un ensemble d'objets.
Etre capable de raisonner à la fois sur un contenant singulier
et son contenu pluriel.
Etre capable de basculer d'une unité à une autre.
Exemples d'équivalence
10 doigts correspondent à 2 mains.
1 heure, c'est 60 minutes mais c'est aussi 3600 secondes.
1€ a la même valeur que 100 centimes.
Sur cette dernière affirmation, si je pose la question « Il s'agit de 1 ou de 100 ? ».
La réponse est « Les deux ».
Si je pense à 1, il s'agit d'euro.
Si je pense à 100, c'est aux centimes que je fais référence.
L'enfant qui a compris la notion, comment va-t-il l'exprimer ?
« Si l'unité est petite, il en faut beaucoup, si l'unité est grande
il n'en faut pas beaucoup. »
En mathématique comment cette notion est-elle dite :
A quantité égale plus l'étalon est petit, plus le nombre est grand et plus l'étalon est grand, plus le nombre est petit. Etalon et nombre sont inversement proportionnels.Ça sert à quoi ?
C'est un aspect de la logique qui est primordial.
Dans la numération
100 unités = 1 centaine = 10 dizaines
Pour les conversions à propos de la mesure des grandeurs
1 mètre = 1000 millimètres = 100 centimètres = 10 décimètres = 0,01 hectomètre...
1 tonne = 10 quintaux = 1000 kilogrammes
Pour comprendre que le facteur de la multiplication est un nombre de « fois ». Si a = 3,
« a » est à la fois 3 « uns » (unité) et 1 « trois » (une fois le groupe de 3).
Dans la division par soustractions successives. Chaque retrait de contenu devient « 1 »
groupe. Dans cette division c'est ce que l'on cherche : un nombre de groupe.
Dans les fonctions linéaires ; y = ax .
Est-ce que tous les ronds sont bleus ? OUI
Est-ce que tous les ronds sont bleus ? NON
Est-ce que tous les ronds sont bleus ? OUI
Est-ce que tous les ronds sont bleus ? NON
Que peut-on dire des non animaux ?
L'INCLUSION DE CLASSES
En quoi consiste cet outil de pensée ?
Etre capable de penser des ensembles inclus les uns dans les autres.
Etre capable d'imaginer qu'un élément peut appartenir simultanément
à plusieurs ensembles hiérarchiquement inclus.
Etre capable de sentir la différence entre « les » (article défini)
et « des » (article indéfini).
Etre capable de comprendre que la phrase construite sur le mode « Tous
les ....sont des..... » implique que le premier ensemble est inclus dans le second.
Etre capable de maîtriser la négation.
Exemples d'inclusion
L'ensemble des multiples de 10 est inclus dans l'ensemble des multiples de 5.
Mon copain de classe appartient à l'ensemble des garçons, lui-même inclus
dans l'ensemble des enfants de l'école, qui est inclus dans l'ensemble
des humains hiérarchiquement inclus dans la catégorie des êtres vivants...
de la classe sont demandés dans la cour. « Des » est indéfini
et constitue une partie de la totalité.
« Tous les carrés sont rouges » implique qu'il n'y a pas de carrés
d'une autre couleur se traduisant par « qui ne soit pas rouge ».
« Tous les carrés sont rouges » implique qu'il n'y a pas de carrés non rouge.
Si un objet n'est pas rouge alors il n'est pas carré.
En mathématique comment cette notion est-elle dite ?
« Tous les X sont des Y alors un non Y n'est pas un X »
« Si tous les X sont des Y alors il n'y a pas de X qui ne soit pas Y »
Ça sert à quoi ?
A travailler son esprit logique.
Avoir des raisonnements qui créent des liens entre un élément et son appartenance
à un ensemble, un ensemble par rapport à un autre ensemble.
Comprendre dans la langue la négation, la double négation (« Il n'est pas interdit
de stationner. ») et la forme négative dans les conjugaisons.
En mathématique pour le sens de la soustraction et pour comprendre un problème
qui comporte une inclusion (Dans un garage il y a 72 voitures. Il y a 120 places.
Combien y a-t-il de places inoccupées ?)
Envie d'essayer le niveau supérieur ?
Paul mange ce qu'il veut mais de jour en jour son goûter doit être différent
Aidez-le à réaliser son défi. Faites glisser les aliments du goûter dans les cases du calendrier.
LES PARTIES D'UN ENSEMBLE
En quoi consiste cet outil de pensée ?
Dans une situation proposée avec des objets,
Etre capable de trouver une solution.
Etre capable de trouver plusieurs solutions.
Etre capable de représenter sur papier chacune des solutions.
Etre capable d'organiser ces différentes solutions.
Etre capable de trouver toutes les solutions.
Etre capable de symboliser, par écrit, chacune des solutions.
Etre capable d'être sûr d'avoir trouvé toutes les solutions.
Etre capable de pouvoir argumenter pourquoi cette assurance.
Etre capable de déjouer des contre exemples.
Etre capable de trouver une mathématisation de toutes ces solutions.
Etre capable de créer une formule numérique de cette mathématisation.
Etre capable de trouver une représentation spatiale de cette formule.
Etre capable de formaliser algébriquement cette formule.
Comment situer son niveau logique ?
En observant une personne on peut situer son évolution logicomathématique.
Si elle a tout trouvé, il faut l'inviter à chercher d'autres solutions
pour qu'elle puisse dire « Il n'y en a plus ! ».
En mathématique comment cette notion est-elle dite ?
La formule de P(E) c'est 2n (n est le nombre d'éléments).
Ça sert à quoi ?
C'est un exercice de logique pure qui ne sert pas directement dans les exercices
des programmes scolaires, mais la progression de cette activité fait apparaître
le niveau logicomathématique des enfants.
Travaillées en classe, ces situations qu'ils aiment particulièrement, mobilisent
leur pensée. Elles les invitent à réfléchir, à faire naître leurs propres raisonnements
en partant du plus simple c'est-à-dire des manipulations concrètes de chacune
des solutions pour aller vers la complexité. Progressivement au cours de la scolarité,
elles leur permettent d'accéder à l' « abstraction ».
D'autres domaines de la logique suivent cette même progression.
C'est le cas dans toute la combinatoire (les permutations, les arrangements,
les combinaisons, les applications, les partitions...)
Envie d'essayer le niveau supérieur ?
Au bout de 5 donnes, Myriam en a 15 et John 10.
Après un certain nombre de distributions selon ce rapport, John se trouve avec 24 jetons.
Combien en a Myriam ?
Combien John en a-t-il ?
Combien en a John ?
LES PROPORTIONNALITÉS
En quoi consiste cet outil de pensée ?
Etre capable de maîtriser le sens des deux sortes de divisions
et de la multiplication.
Etre capable de réaliser deux raisonnements opératoires consécutifs
à l'aide d'abord d'une division suivie d'une multiplication.
Etre capable de comprendre que lorsqu'il s'agit de réaliser ces deux opérations
successives, elles peuvent s'effectuer indifféremment dans un ordre
ou dans l'autre.
Etre capable de trouver la valeur du « 1 » concerné.
Exemple de deux rapports proportionnels
Si 5 cahiers coûtent 35€, alors 8 cahiers coûtent 56€.
Une fois la notion comprise, comment s'exprime-t-elle ?
Un petit problème à poser.
Monsieur Fabi et Monsieur Gadon vous offrent la possibilité de travailler. Tous
deux conviennent de vous apporter le matériel pour fabriquer des stylos. Ils vous
laissent la liberté de produire à votre rythme.
Monsieur Fabi propose de vous payer 1€ par stylo fabriqué.
Monsieur Gadon 50€ pour 100 stylos.
Quel est l'employeur qui paye le mieux ?
En mathématique comment cette notion est-elle dite ?
D'une manière générale, elle est présentée sous la forme du produit en croix qui est
une des propriétés des rapports proportionnel.
2 méthodes pour résoudre chacun des problèmes précédents :
Soit ce qui s'appelle la « Règle de trois » par le retour à « 1 »,
soit l'application de la formule du produit en croix qui ne permet pas de comprendre
le raisonnement puisqu'elle débute par la multiplication ne mettant pas en priorité
le retour à la valeur d'une unité.
Ça sert à quoi ?
Les proportionnalités jouent un rôle important dans la scolarité des élèves, en
particulier en secondaire avec le théorème de Thalès, la trigonométrie, la physique,
la biologie...
L'accession à ce concept marque un tournant dans l'évolution d'une pensée enfantine.
Elle précède la pensée formelle, abstraite.
Elles servent aussi dans la vie de tous les jours, dans les recettes de cuisine
lorsqu'elles sont données pour 4 personnes et que le repas est pour 10 ou dans tous
les calculs de pourcentages, les soldes, la tenue d'un budget, la lecture d'une feuille
de paye, les dosages....
Une jeune qui veut être infirmière sera systématiquement refusée si elle ne maîtrise pas
les proportionnalités, pour la raison évidente qu'elle aura, au bout de sa seringue, la vie
ou la mort de ses patients au travers des rapports proportionnels dans les dosages.
Envie d'essayer le niveau supérieur ?
Symétrique, la relation inversée est toujours vraie. C'est une équivalence .Anti-symétrique, la relation inversée est toujours fausse. C'est une implication .
Les phrases suivantes sont vraies. En inversant le début et la fin de chaque phrase, est-elle toujours vraie ?
Cliquez sur le bon signe.
LES RELATIONS DE SYMETRIE
PROPRIÉTÉS DES RELATIONS
En quoi consiste cet outil de pensée ?
Etre capable de construire et de comprendre une phrase reliant deux éléments… par un groupe verbal et de juger que cette phrase est vraie.
Etre capable de définir une seconde phrase en permutant sujet et complément
en conservant le même groupe verbal et de juger que cette deuxième phrase
est vraie ou non.
Exemples de symétrie dans les relations
Si la proposition « La droite rouge est perpendiculaire à la droite bleue. » est
vraie, alors « La droite bleue est perpendiculaire à la droite rouge. » est vraie.
La relation « est perpendiculaire» a la propriété d'être symétrique.
Si la proposition « Pierre est le père de Kevin. » est vraie,
alors « Kévin est le père de Pierre » est fausse.
La relation « est le père de » a la propriété d'être antisymétrique.
Dans une fratrie de garçons et de filles
si la relation « x est le frère de y » est vraie
alors la relation y est le frère de x est parfois vraie, parfois fausse.
Cette relation « est le frère de » a la propriété d'être asymétrique.
En mathématique comment cette notion est-elle dite ?
Quels que soient les éléments choisis x et y :
Si x est en relation avec y, alors y est en relation avec x
Ça sert à quoi ?
Cet outil sert à construire un esprit logique qui va servir dans tous les domaines
de la pensée.
En mathématique
Dans les sériations les relations sont antisymétriques (« est plus grand que »).
Dans les classifications elle sont symétriques (« Est égal »).
En grammaire pour la compréhension de la voie passive
Dans la phrase « Le chat mange la souris » en permutant le sujet et le complément
du groupe verbal « mange » la phrase devient absurde.
Si l'on veut vraiment commencer à parler de la souris, il faut créer une nouvelle
relation. La réciproque de « mange » deviendra « est mangée ».
Si l'on veut vraiment commencer la phrase en parlant de la souris, il faut créer
une nouvelle relation. La réciproque de « mange » deviendra « est mangée ».
Envie d'essayer le niveau supérieur ?
Observez et mémorisez
LA RÉVERSIBILITÉ
En quoi consiste cet outil de pensée ?
Etre capable de raisonner le déroulement d'une action dans un sens
et dans l'autre comme étant un seul et même fait.
Etre capable de savoir quelle opération choisir pour résoudre un problème,
lorsque l'opérant a compris le sens des opérations.
Etre capable de pouvoir retourner en pensée au point de départ
d'une démarche en réalisant l'opération inverse.
Etre capable de réaliser 3 types de réversibilité dans les opérations :
Addition / Soustraction
Multiplication / Division
Elever au carré / Extraire la racine
Etre capable d'avoir une pensée mobile dans ses parcours opératoires.
Exemples de réversibilité
Si j'écris cette opération : 2 + 3 = 5
Alors je sais que : 3 + 2 = 5
5 – 2 = 3
5 – 3 = 2
Mais aussi : 5 = 2 + 3
Alors je sais que 5 = 3 + 2
2 = 5 - 3
3 = 5 – 2
Une fois la notion comprise, comment s'exprime-t-elle ?
Dans chacune des équations suivantes, comment trouver x, connaissant y et z.
Quelle opération faire ?
Dans quel sens écrire l'opération ?
y = x + z
z = x – y
x + y = z
x = z + y
y = z - x
y – z = x
Beaucoup réalisent cet exercice par automatisme « change de membre change
de signe ». Les automatismes ne sont pas mauvais en soi mais le deviennent
si on ne maitrise pas le sens de ce que l'on fait.
Ça sert à quoi ?
La réversibilité réclame une mobilité de la pensée très spécifique, sous sa forme
la plus simple dans les notions de conservation, dans la résolution de tout problème
de Mathématiques, pour résoudre toute équation.
Si je pose le rose, le bleu, puis ensuite le jaune par-dessus, ca donne quoi ?
Si je pose le rouge, le rose, le bleu et puis le vert par-dessus, ca donne quoi ?
Toujours avec le rouge, le violet, le bleu puis le vert, mais maintenant je les regarde par en dessous, ca donne quoi ?
LA SÉRIATION
En quoi consiste cet outil de pensée ?
Etre capable de comparer des objets ou des idées selon un critère.
Etre capable de maintenir ce critère de comparaison sur la totalité des objets.
Etre capable de pouvoir retourner en pensée au point de départ
d'une démarche en réalisant l'opération inverse.
Etre capable d'ordonner ces objets suivant leurs différences,
l'un étant « plus » que l'autre.
Ces critères peuvent être spatiaux (plus à droite, plus haut, plus à l'ouest...),
temporaux (plus tôt, précède, est né avant...), numériques (supérieur,
a plus d'éléments...), physiques (plus lourd, plus long, plus spacieux,
plus volumineux, plus intense...).
On constate que chacun de ces critères possède un opposé : droite / gauche,
tôt / tard, supérieur / inférieur, lourd / léger... Ce qui impose un choix
entre deux ordres possibles : l'ordre croissant et l'ordre décroissant.
Exemples de série
Ranger des nombres par ordre décroissant.
Raconter une histoire dans l'ordre.
Ordonner des mots par ordre alphabétique.
Sérier en aveugle des bâtonnets du plus petit au plus grand dans un sac.
Aligner des boîtes identiques contenant des masses différentes de la plus légère
à la plus lourde....
Comment situer son niveau logique ?
Les sériations reposent sur les comparaisons des objets deux à deux.
Chaque comparaison donne un renseignement.
Mettre en ordre ces renseignements réclame des procédures.
L'observation des tactiques élaborées par l'enfant pour organiser ces données
en une sériation unique, nous indique précisément son niveau logicomathématique.
Ça sert à quoi ?
Les sériations sont à la base de tout raisonnement logique. Cette logique intervient
dans toutes les activités quotidiennes, scolaires ou professionnelles.
Elles fonctionnent déjà chez les tout petits enfants, dans l'emboîtement des oeufs
gigognes.
En Mathématique, les degrés de difficulté sont croissants suivant le niveau des classes.
Sérier des nombres c'est ce que l'on fait avec l'emboitement des ensembles
numériques : Naturels, Entiers relatifs, Décimaux, Rationnels, Réels, Complexes...
En physique, un des objectifs est de mettre du nombre sur quelque chose
qui n'en a pas. Ces nombres permettent les sériations dans les domaines de mesure
de grandeurs : Masses, Capacités, Longueurs, Aires, Volumes, Angles, Résistance des métaux, Electricité...
En gestion du temps, tout est sériation : Histoire, calendriers, horloges,
généalogies, plannings, successions, gestion des durées...
LA TRANSITIVITÉ
En quoi consiste cet outil de pensée ?
Etre capable de traduire des données de balances Roberval
en données comparatives.
Etre capable de déduire, d'après deux affirmations exactes et ordonnées,
une affirmation nouvelle.
Etre capable de tenir compte de deux données pour en créer une troisième.
Etre capable de raisonner sur le mode « Si x est en relation avec y et si y
est en relation avec z alors x est en relation avec z.»
C'est pratiquer un raisonnement par rebondissement. La relation transite par le y
qui est complément dans la première assertion et sujet dans la deuxième.
Exemples de transitivité
Si A est plus pesant que B
Et B est plus pesant que C
En mathématique comment cette notion est-elle dite ?
Si xRy
Et yrz
C'est la transitivité des relations d'équivalence (« a le même âge que », « même masse
que », « même longueur que », « dure le même temps que », « est parallèle à »,
« est égal à »...) et des relations d'ordre (« est plus âgé que », « plus pesant que »,
« moins long que », « dure plus longtemps que », « précède »...).
Ça sert à quoi ?
Ce raisonnement logique « à rebondissement » sert dans les relations
et est indispensable aux opérations.
Tout problème qui réclame deux opérations successives repose sur ce rebondissement
à propos d'une réponse intermédiaire. La solution à la première opération va permettre
d'enchaîner sur une deuxième.
J'ai 20 €. J'achète 2 cahiers à 7 € l'un. Qu'y aura-t-il dans mon porte-monnaie
à la sortie du magasin ?
Il s'agit d'une multiplication suivie d'une soustraction.
La difficulté augmente lorsque deux multiplications se succèdent :
Combien y a-t-il de perles dans 2 paniers de 3 cassettes contenant chacune 20 perles ?
Les proportionnalités réclament un double raisonnement : une division pour le retour
à l'unité, suivie d'une multiplication.
Combien de jeunes en collège ont réellement compris ce raisonnement qui leur
permettra de maîtriser les pourcentages, le Théorème de Thalès, la Trigonométrie
et toute la Physique ?